[스크랩] 기타 음계와 화음(코드)의 비밀?

 

이 글은 음악 전공자의 글이 아니다. 화성학이나 작곡법에 관한 글을 읽으면 같은 정보를 얻을 수 있을 것인데, 그런 책들은 읽기 어렵다. 이 글은 음악과 전혀 무관한 사람을 위해 쓴 글이다. 이 글을 읽기 전에 먼저 네이버 캐스트의 순정율(피타고라스 음율) 또는 삼분속익법을 먼저 읽어 보라. 읽기 어려울 것인데 요약하면 2/3(현의 길이) 또는 3/2(주파수)를 반복 적용해서 모든 음계를 구하는 방법이다. 현재의 수학적, 기계적으로 12음계를 나누는 평균율이 사용되기 전에 고대에 사용하던 방법이다. 이렇게 하여 5음계, 6음계, 7음계를 만들어 사용했다. 순정율로 12개의 모든 음을 찾아도 음의 간격이 평균율의 12음계처럼 균일하지 않다. 그래서 반음들이 서로 음이 미세하게 달라서 다르게 부른 것 같다. 즉 D♭과 C#이 원래 다른 음이었던 모양이다. 현대에는 평균율을 사용해서 이 둘은 같은 음이다. 귀로 들으면 평균율보다 순정율로 찾은 음계의 화음이 더 듣기 좋다고 한다. 

수학의 피타고라스 정리나 음악 이론은 동양에도 이미 있었다. 아마도 피타고라스가 배워간 것 같다. 왜냐하면 시기적으로 동양이 너무 앞서 있기 때문이다. 조율의 원리는 1/2(또는 2배)과 1/3(또는 3배)을 사용한다. 1/2(주파수 2배)는 한 옥타브 위나 아래의 같은 음계이다. 1/3(주파수 3배)은 솔에 해당한다. 고로 그 2배인 2/3도 솔이다. 이 관계를 계속 반복 적용해서 나머지 음계를 구한다.

 

 

 

 

위의 내용이 순정율에 해당 된다. 잘 보면 1/2(2배), 1/3(3배)를 반복 적용해서 음계를 찾는다. 이 방법은 음계를 간단한 정수의 비율로 나타낸다. 평균율은 아래와 같이 구한다. 수학적으로 간단하게 구할 수 있다.

중학교 때 기타를 배우게 되었다. 선생님 없이 기타만 가지고, 몇 가지 기초 책을 사서 보았다. 처음에는 기타 코드가 뭔지 몰랐는데 보다 보니 "엇! "하고 깨달은 것이 있었다. 순간 나는 기타보다는 음계와 화음에 더 관심이 생겼다. 허나 그 나이에 음악이론을 배울 수 없었다. 주변에 음악하는 사람이 없었다. 나는 연주에는 소질이 없다는 것을 알게 된다. 그보다는 수학에 관심이 많았다. 기타의 손잡이 부분을 보면 점점 좁아지는 눈금 간격이 보인다. 좁아지는 쪽으로 가면 음이 높아진다. 이 간격이 어떻게 되어 있는지 궁금했다. 풀 수 있는 힌트가 몇 개 있었다.

 

1. 눈금의 어디를 기준으로 하더라도 "도래미파솔라시도" 가 가능했다. 즉, 음계는 상대적이고, 절대적인 음 높이만 올라가더라.

 

2. 기타 코드를 보면 느낌이 같은 화음인데 전체적인 음 높이만 다른 코드들이 있다. 즉, A Major와 B Major는 느낌이 같으나 음 높이만 약간 다른 느낌이다. 코드들이 느낌은 같은데 높이만 다르다. ※ CDEFGABC = 도레미파솔라시도

 

3. 화음은 음들간의 관계를 말하는 것이고 전체 높이는 키(Key)라고 부르며 같은 노래를 고음/저음 목소리로 부르는 것을 말하더라.

 

그래서 이 간격이 어떻게 된 것인지 수식으로 풀어 봤다. 줄을 그냥 튕길 때가 "도"이면 딱 1/2 지점인 중간에서 튕길 때 음계는 "도"이고 딱 2배로 소리가 높다. (주파수가 2배이고, 줄 길이는 1/2(절반)이다.) 음계는 "도레미파솔라시도" 사이에 반음이 있어서 "도+레+미파+솔+라+시도"로 총 12개이다. 음계 대신에 번호를 붙여 보면

 

도.●.레.●.미.파.●.솔.●.라.●.시.도

00.01.02.03.04.05.06.07.08.09.10.11.12

※ ●는 피아노 건반의 검정색에 해당된다.

 

앞의 내용을 요약하면 줄간격이 일정한 비율로 줄어들어야 한다는 것이다. 그 비율은 12번이 줄어들면 딱 절반(1/2)이 되는 숫자여야 한다. 그럼 수식으론

 

R^12 = 1/2 = 0.5

R = (0.5)^(1/12) =  0.943874313 (줄길이 감소율)

 

반대로 주파수는 일정 비율로 올라가서 12번 올라가면 딱 2배가 되어야 한다.

 

R^12 = 2

R = 2^(1/12) = 1.059463094 (음높이 증가율 = 주파수 증가율)

 

서로 역수관계이다. 약 6%씩 변하게 되어 있다. 이런 것이 평균율이다. 이제 개인적으로 현악기를 만들 수 있다. 

옥타브란 8번째란 뜻이다. "월화수목금토일"에서 다음 월요일도 옥타브다. "도레미파솔라시"에서 다음 도가 8번째이며 반복 되기 때문에 옥타브다. 주파수는 2배에 해당하며, 줄의 길이는 1/2에 해당한다. 이것을 옥타브라고 한다. 인간은 20Hz ~ 20000Hz를 듣기 때문에 약 10개의 옥타브를 들을 수 있다. 여기서 말하는 옥타브 주파수는 음악의 음계와는 다르다.

옥타브 00 = 20Hz - 너무 저음이라 진동의 느낌이다.

옥타브 01 = 40Hz

옥타브 02 = 80Hz

옥타브 03 = 160Hz

옥타브 04 = 320Hz

옥타브 05 = 640Hz

옥타브 06 = 1280Hz

옥타브 07 = 2560Hz

옥타브 08 = 5120Hz

옥타브 09 = 10240Hz - 너무 고음이라 음의 높이보다는 음색이나 음질에 영향을 준다.

이제 처음 도를 1000Hz라고 가정하고 주파수를 음계별로 구하면 된다. 왜 1000Hz냐? 계산이 쉽기 때문에 선택한 것이고 음악의 중앙에 해당하는 도는 아니다. 음악의 중앙 도는 남자와 여자 목소리의 중앙에 해당 된다. 여자는 이것보다 높은 소리가 나오고, 남자는 이것보다 낮은 소리가 나온다. 사람은 최저 20Hz를 인식하기 때문에 최소 1/20초 동안 음의 높이를 파악하게 된다.

 

Hz	LOG	음계	음계
1000	3.000	도	C
1059	3.025		C#
1122	3.050	레	D
1189	3.075		D#
1260	3.100	미	E
1335	3.125	파	F
1414	3.151		F#
1498	3.176	솔	G
1587	3.201		G#
1682	3.226	라	A
1782	3.251		A#
1888	3.276	시	B
2000	3.301	도	C

 

 

 

이 주파수에 Log를 취하면 일정한 숫자 간격이 된다. 3은 1000에서 나온 것에 불과하다. 표에서 소수점 이하가 0.025씩 증가한다. 흔히 dB(데시벨)이라고 표현하는 것이 Log를 취하는 것인데 바로 인간의 감각기관이 느끼는 간격(차이)을 표현하게 된다. 그 간격이 일정하니 평균율이다.

이제 다음으로 궁금한 것이 있는데 왜 어떤 음은 다른 음과 잘 어울려 화음이 되는가이다. 백과 사전은 너무 내용이 없고 전문서적은 어렵고 두꺼워서 읽시 싫다. 사람의 귀와 두뇌가 주파수와 리듬을 파악해 버리게 되면 음악이 되고 주파수가 계속 변하고 리듬이 불규칙하면 소음으로 인식한다. 그리고 화음이 이상해서 느낌이 좋지 않은 음악도 소음이 된다. 음의 높이든 박자든 반복성과 규칙성이 있어야 음악으로 인식하는 것 같다. 

 

맥놀이현상이란 것이 있다. 2개의 파동이 겹쳐지면(곱 또는 합) 큰 울림속에 작은 울림이 섞여 있어 너울너울 바이브레이션이 들어가는 현상이다. 2개의 주파수가 비슷하면 할 수록 맥놀이 주파수가 작아서 귀에 확실하게 들리고 2개 주파수 차이가 크면 맥놀이 주파수가 커서 귀로 잘 느끼지 못한다. 그래서 기타 조율할 때 맥놀이를 느끼면 정확하게 맞출 수 있다. 두 음이 완전히 같아지면 맥놀이가 없고, 아주 비슷하면 확실하게 맥놀이가 느껴진다. 너무 다르면 맥놀이가 느껴지지 않는다. 고로 맥놀이가 느껴지는 수준으로 음을 맞추고 마지막에 맥놀이를 느끼지 못 할 정도로 맞춘다. 수학적으론 다음과 같이 표현된다.

 

cos A + cos B = 2 cos{1/2 (A+B)} cos{1/2 (A-B)} ※ 합 즉 곱이요
cos A cos B = 1/2 {cos(A-B) + cos(A+B)}  ※ 곱 즉 합이다.

 

 

 

 

 

 

 

위는 "도"와 "도#"의 맥놀이 현상이다. 반음 차이다. 두 소리가 합해져 소리가 커졌다 줄었다 한다. 맥놀이 현상이 있으면 화음이 되지 못한다. 불협화음이 된다. "도"와 "미"의 화음에선 맥놀이가 느껴지지 않을 정도로 짧다. 이런 현상이 보이는 음계가 화음이다. 2개 음의 차이는 4단계 정도이다. "도"와 "시"같은 경우는 짧게는 음계에서 1단계 길게는 11단계 차이가 있다. 짧게는 맥놀이가 된다. 화음 중에 "도미솔도" "도파라도" 들어 보았을 거다. 각 음계 간격이 도-4-미-3-솔-5-도, 도-5-파-4-러-3-도이다. 그리고 "미"는 아래/위의 "도"와 4-8 차이, "솔"은 아래/위 도와 7-5 차이다. "파"는 아래/위 "도"와 5-7 차이, "라"는 9-3 차이다. 파와 솔은 대칭을 이루고 있다. 모든 차이를 종합하면 상대적인 음계 차이는 12음계 중에서 3~9단계가 나야 한다. 인접한 음계는 약 3단계 차이다. 물론 절대 규칙은 아니고 느낌이 더 중요하겠지? 잘 모르겠지만 그런 관계가 있다는 거다. 순정율과 평균율은 어느 정도 비슷할까? 순정율은 간단한 정수비로 음계가 표현된다는 것인데?

 

 

Hz	LOG	분수	오차
1000	3.000	1/1	0%
1059	3.025
1122	3.050	9/8	0.3%
1189	3.075
1260	3.100	5/4	1%
1335	3.125	4/3	0.2%
1414	3.151
1498	3.176	3/2	0.2%
1587	3.201
1682	3.226	27/16	0.6%
1782	3.251
1888	3.276	17/9	0.1%
2000	3.301	2/1	0%

 

 

 

위는 평균율로 구한 주파수를 단순한 정수의 비율로만 표현하면 어떻게 되는가 본 것이다. 제일 앞의 내용과 같은 개념인데 12음계와 가장 비슷한 단순한 정수비를 역으로 구해 본 것이다. "미파솔"을 보면 단순한 정수비로 되어 있다. 기준 "도"와 4,5,7 단계 차이다. 단, 오차는 1% 이하가 되도록 했지만 오차를 넓게 잡으면 정수비가 더 간단해진다. 오차를 2% 이하가 되도록 좀 크게 잡고 다시 만들어 보면 아래와 같이 간단해 진다.

 

 

Hz	LOG	분수	오차
1000	3.000	1/1	0%
1059	3.025
1122	3.050	9/8	0.3%
1189	3.075
1260	3.100	5/4	1%
1335	3.125	4/3	0.2%
1414	3.151
1498	3.176	3/2	0.2%
1587	3.201
1682	3.226	5/3	1.5%
1782	3.251
1888	3.276	15/8	1.3%
2000	3.301	2/1	0%

 

 

 

음계가 간단한 정수비로 표현될 수 있다는 점을 나타낸다. 이 정수비가 앞에서 본 순정율과 다르지만 평균율의 12음계가 간단한 정수비로 나타낼 수 있다는 것을 보인 것이다. 그리고 정수비가 간단하면 화음이 된다는 점을 나타낸다. 정수비를 dB이나 Log 간격으로 보면 일정한 간격이 나온다. 비율이 간격으로 바뀐다. 앞의 내용과 일치한다. 화음이 되려면 각 음계간의 간격이 3~9단계 사이에 있어야 한다. 대충 어디쯤 위치해야 화음으로 들리는 지는 짐작이 가게 되었다. ※ 음악 이론에 나오는 장/단 몇 도 라는 표현은 계산이 잘 되지 않아서 사용하지 않았다. 악보 보는 머리가 둔해서...

 

보면 반음을 제외하면 7음계이다. 7음계는 비율이 비교적 간단하다. 서양 음계이다. "도레미파솔라시"다. 그럼 5음계는 어디에 해당되냐 하면 "도레파솔라"다. 또는 "도미파솔시"이거나. 5음계도 대체로 비율이 간단한 음들이다. 정수비가 간단한 것들이 음계에 해당된다. 정수비가 간단하다는 것은 dB이나 Log 간격으로 보면 어떤 일정한 간격으로 보인다. 

 

그런데 사람은 왜 이것을 화음으로 듣는 것일까? 사람의 귀와 두뇌가 주파수 분석을 한다. 그 관계가 단순한 것을 아름답다고 느끼는 것 같다. 색은 3원색(물감은 빨노파, 빛은 빨녹파)을 섞어서 비율로 모두 표현 가능하다. 원색은 강하게 느껴지고, 흰색이 많이 섞인 분홍, 연두, 하늘 색은 예쁘게 느껴진다. 사람 눈에는 3가지 필터(빨녹파) 밖에 없다. 3종류 빛의 세기의 비율이 바로 색이다. 소리는 그렇지 않다. 몇 가지의 주파수의 관계(간격)로 듣는 것 같다. 사람은 1200단계(12음계 * 10옥타브 * 반음의 1/10까지 구분)의 음 높이를 구분한다. 함께 들리는 소리가 비슷한 주파수면 뭉쳐서 하나로 주파수로 해석하게 된다. 아름다운 악기 소리의 주파수 분석은 어떻게 되어 있을까?

 

줄 길이와 음계에 대한 보충설명이다. 기타 줄을 튕기면 줄이 떤다. 아래와 같이.

 

 

 

 

첫번째 음은 줄 전체가 위아래로 떨며 내는 소리다. 거기에 작은 크기로 1/2 되는 점에서 갈려 좌우가 서로 올라갔다 내려갔다 하며 소리를 낸다. 첫 소리의 2배 주파수다. 그 다음에 더 작은 소리로 1/3, 2/3 지점을 기준으로 서로 엇갈려 떨어 첫 소리의 3배 주파수로 소리가 난다. 계속 이런식으로 나가는데 배음이라고 한다. 각 배음은 기본 음에 더해져서 전체 음색을 나타낸다. 자연스럽게 배음은 들어가게 되어 있다. 이 배음의 음계가 화음의 음계와 같다. 그러니 음계와 화음이 간단한 정수비로 표시되게 된다. 어떤 음계든 1/2로 줄길이가 짧아지면 주파수는 2배가 되고 한 옥타브 높은 같은 음계가 된다. 그럼 1/3, 1/4, 1/5 ... 어떤 음계인지 찾아보겠다.

 

 

 

 

 

그림이 상당히 복잡하다. 세로 줄은 기타 줄이라고 생각하면 된다. 기타 줄을 정수 N으로 나누어 간격을 점으로 표시했다. 위의 그림을 보면 10분의 1까지 나누어 본 것이 된다. 점 지점을 누르고 튕기면 어떤 음계가 되는지 표시하였다. 빨간 옆줄은 같은 위치이기 때문에 같은 음계가 된다. 그리고 그 음계의 1/2 지점도 역시 같은 음계가 된다. 나머지 위치는 앞에서 음계를 정수비로 표현한 표에서 찾아 넣는다. 1/3은 솔이고 이것의 2배인 2/3도 솔이다. 여하튼 그런 식으로 찾았다. 보면 "도"를 튕기면 자연스럽게 "도미솔"이 배음으로 함께 나오게 되어 있다. 가장 자연스런 배음이 가장 기초적인 화음이 된다. 그래서 도-솔-파-미-라 순으로 음계가 간단한 정수로 표현된다. 레-시 는 한 참 후에 나타난다. 보면 어떤 음들은 서로 비슷한 위치에 있어 근사적으로 같은 음계로 보이기도 한다. 여기선 1/10 까지 찾아 놓았지만 간단한 계산으로 어떤 정수비도 찾아 볼 수 있다. 화음이 되는 음계끼리는 그들의 각자 배음들도 서로가 일치를 이루게 된다. 그러니 주파수(줄길이)를 놓고 보면 계속 간단한 정수 관계를 유지하게 된다. 정확히는 알 수 없으나 자연스럽게 듣던 소리와 일치하는 위치에 주파수가 있으면 화음으로 듣는 것 같다. 거기서 벗어나면 소음으로 듣는 것 같다. 음계와 화음의 비밀이 간단한 정수로 표현되는 관계에 있었다. 이 간단한 정수는 자연의 성질이기도 했다. 옛날 사람들 대단하군. 이런 걸 알아냈으니! 그래도 의문은 많이 남는다. 

그럼 이제 기타 코드(화음)가 어떻게 되어 있는지 보자. 기타 코드를 모두 모아서 12음계에서 서로 간의 거리로 나타내면 다음 그림과 같다. 

이 그림에선 C와 D의 코드만 본 것이다. 그래도 2칸 위로 올라 갔을 뿐이고 음계들 사이의 상대적 거리는 모두 같다. 이 표를 이용해서 기타 코드 전부를 계산해서 구할 수 있다. 이것이 왜 화음이 되는지는 잘 모르겠다. 나중에 전문 음악 서적을 읽어 보라! 기본 도미솔, 레파라에서 반음이 내려 가거나 4번째 음이 추가 된 것이 기타 코드다. 기타 칠 때는 음계를 잡을 손가락이 4개이기 때문에 4개 음만 나온 것 같다. 마이너(m)란 코드는 중간 음이 반음 내려 온다. 그러면 약간 차분하고 슬픈 느낌이 든다. 디미니쉬(dim)는 반음이 2개가 내려 온다. 매우 차분하고 슬픈 느낌이 든다. 여하튼 반음이 내려 오면 약간 슬픈 느낌이고, 반음이 올라가면 불안정하고, 기쁜 느낌이 든다. 뭐 대충 그런 느낌이다. 

작곡을 할 때 유명한 곡들의 코드 진행을 보라. 그러면 어떤 패턴이 보일 것이다. 서로 다른 곡이지만 코드의 조합이 같다. 이런 경우 서로 다른 곡이지만 같은 반주로 연주가 가능하다. 1음절은 A곡을 부르고 2음절은 B의 곡을 불러도 아무 이상 없이 섞인다. 같은 코드 진행인데 리듬이 약간 다르고, 음계의 조합 순서가 약간 다르다. 이런 원리를 이용해서 작곡을 자동으로 할 수 있다. 미국의 어떤 웹 사이트는 대박 곡인지 아닌지 판별을 한다고 한다. 그 사이트가 인공 지능을 이용해서 리듬(박자), 멜로디(음정) 등을 분석해서 대박이 났던 곡들의 패턴이 나타나는지 확인하는 것이다. 그럼 반대로 대박이 될 곡을 자동으로 만들 수 있지 않을까? 이 부분에 대해서는 미디 파일 분석 부분을 읽어 보라. 

http://blog.daum.net/jty71/15645096

 

출처 : 꿈돌이

글쓴이 : 코삐쭉 원글보기

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